山东省图书馆

刘洪，字元卓，东汉末年泰山郡蒙阴（今山东省蒙阴县）人。
  刘洪出身于鲁王宗室.自幼“笃信好学，观乎六艺群书”，有着渊博的知识。由于他曾担任过“上计掾”、“检书东观著作”等技术性、学术性的官职，"专心锐思于天文数术”，“探遗索引、钩深致远”，使他终于成为“密于用算”，"当世无偶”的天文历算学家。他所创制的《乾象历》，是我国第一部传世的引进月球运动不均匀性的历法，为后世历法工作者所尊崇，宗法。在天文学、数学领域里，他也有着独到的创见和成就。
  由于刘洪在《后汉书》中无传。因此，后人对其知者甚少，专门研究刘洪的著述亦不多见。本文试就从史籍中搜求到的零星资料，加以连缀整理，力求将其生平业绩做一连贯性的介绍，以期引起有关领导和学术界的注意。如能抛砖引玉，于愿足矣！并以此就教于诸位学者、专家。
  笔者学识浅薄，见闻不广，蜗居陋室，所能见到的资料太少。因此，疏漏错误之处，当所难免。敬请识者教我。在本文的“附录”部分中。我参考引用了任克来同志搜集地部分资料，特此致谢。
  一、刘洪的家世——鲁王宗室
  据《后汉书》转引《袁山松书》载：“刘洪…… 鲁王之宗室也。”（《后汉书》卷十一，3043页，中华书局1974年版。下同）
  这个"鲁王”，当然是指东汉时期的鲁王。
  据《后汉书•光武帝记》载：刘秀在夺敢政权、建立东汉王朝的第二年（建武二年，公元26年），在首批分封"宗室四王”时，即封其"兄子章为太原王，章弟兴为鲁王”。（《后汉书》卷一，29页）刘秀的长兄刘縯，字伯升，是西汉宗室舂陵侯刘买之后，也是当时南阳地主集团的首领。王莽篡政后，他纠集地主武装，组成舂陵军，抱着"复高祖之业”的目的，加入了当时席卷全国的农民起义队伍。他依仗舂陵军的实力，专横跋扈，自称柱天大将军，志在夺取起义军的最高领导权,后在争权中被刘玄所杀。汉光武帝刘秀在建武十五年追谥他为齐武王。
  刘縯有两个儿子，长子刘章被封为太原王,次子刘兴被封为鲁王，"嗣光武兄仲”。（《后汉书》555页）也就是说，刘秀的二哥刘仲早亡无子，刘兴实际上是出嗣于二叔，所以，在建武十五年，刘仲也被追谥为鲁哀王。
  刘兴"为人有明略，善听讼，甚得名称。迁弘农太守，亦有政声”。（《后汉书》557页）因为他有较高的政治才能。所以有时出任令守，有时在京协理朝政。“（建武）二十七年始就国”，（同上）“显宗器重兴，每有异政，辄乘驿问焉”。（同上）但是，在建武二十八年（公元52年）时，他被改封为"北海王"，原因是“以鲁国宜东海,故徙兴为我海王”。（《后汉书》556页）因为当时的鲁国辖"二郡二十九县，租入倍诸王”，所以刘秀在建武二十八年，就把鲁国归并给自己的儿子东海王刘强，而把刘兴改封为北海王，（封地在今寿光、广饶、昌乐一带）至此，“鲁王”这一封号，在东汉时期就消失了。刘兴在明帝建初七年（公元82年）去世时，他的谥号是"北海靖王”；而北海王的爵位却一直被东汉历代皇帝所保留，直至汉献帝建安十一年（公元207年）才与八个诸侯国同时"国除”。（《后汉书》384页）
  刘兴子女不少。建武三十年，刘兴的儿子刘复被封为临邑侯。中元二年，又有两个儿子被封为“县侯”。他去世后，其子刘睦嗣立为北海王，至于刘洪是刘兴的几代孙，或其嫡庶世系，于今就很难考证了。不过历代北海王室一直是“博通书传"、“并有才学”，其中，有不少列入《文苑传》。出现象刘洪这样杰出的科学家，不仅不足为怪，也是有着政治原因的。
  刘秀建立东汉王朝后，鉴于西汉时期权臣当政，外戚篡权，以及地方权重，尾大不掉的历史教训，极力加强皇权，强化专制主义的中央集权制度。对宗室诸王及外戚，刘秀及其继承者更是严加控制.建武二十四年（公元48年），刘秀重申西汉时代的"阿附藩王法”严禁王子、诸王交通宾客，"结党营私”・并于建武二十八年（公元52年）借故搜捕王侯宾客，“坐死者”数千人。从此，诸侯王室成员无志者则在荒淫逸乐中消磨时光，不甘消沉者则潜心学问，“专事著作”。只有如此,才能不被陷入随时都有杀身之祸的政治漩涡。
  刘兴的儿子，第二代北海王刘睦，有一次派使者代他至京师朝贺。临行前，他问使者："如果皇帝问起我的情，况，你将怎样回答？"使者说："我将如实回答：大王忠孝慈爱，敬贤乐士。"刘睦说：“唉，你要坑害我吗！你应该说：我到封国后，'志意衰惰，声色是娱，犬马是好'”。（《后汉书•北海靖王传》557页）刘睦知道只有装作昏庸无知，荒淫逸乐，才能避免疑忌，免遭身亡国除的大祸。当然，这个刘睦，并不是昏庸无知的人。也不甘心于“犬马是好”，"他性好读书”、"能属文”。曾著过《春秋旨义终始论》及赋颂数十篇，"又善史书，当世以为楷则”，直至他临去世前，明帝还“驿马令作尺牍十首”（同上）。他的兄弟、子孙如临邑侯刘复，平望侯刘毅、寿光侯刘普、刘复的儿子==，以及"谒者”刘珍，都擅长词赋，多有专著，《后汉书•文苑传》中均有介绍。被誉为“建安七子"之一的孔融，也曾担任过“北海相”。世称"孔北海”。从而可以看出，“鲁国北海”世系中，多出文人学者，刘洪出生于这么一个学术气氛浓郁的家族里，为他在学术上的杰出的造诣，无疑地奠定了深厚的基础。
  二、刘洪的生平业绩
  1、刘洪的生卒年代
  刘洪主要的生活时代，正值东汉末年的桓灵时期，据史书记载，他于汉桓帝延熹年间（公元158—167）“以校尉应太史征，拜郎中”（《后汉书》卷十一）。他是以“校尉”的资历被征召而封为"郎中”的，估计这时的年龄也不会太小，大概在三十岁左右.那么，他出生时可能在公元130年左右。道至献帝元年（公元196）,他还将自己所著的《乾象历》传授绐郑玄，据此，他的卒年应在公元196年之后。
  与他关系比较密切的著名文学家蔡邕的生卒年代是公元132年至192年，著名经学家郑玄的生卒年代是公元127年至200年，所以，刘洪的生卒年代在公元130年至196年之后，还是比较可靠的。
  2、刘洪的故乡
  刘洪是泰山郡蒙阴（今山东省蒙阴县）人，这在各种史书志书中均有记述，无庸再考。但是，他的家乡的具体方位，抑或哪乡哪镇，由于史书无载，更兼近两千年的沧桑变化。当然更难考究了，不过，蒙阴自春秋秦汉以来，文化就比较发达，特别是有关东汉时期的遗址，传说，更是比比皆是,这就绐我们提供了进一步考查的依据。
  据《蒙阴县地名志》介绍：现坡里镇的"东指"村，"犁掩沟”村的命名，都与刘秀有关。《蒙阴县志》（清宣统三年修）中也有文记载：西汉末年，起兵反莽的刘秀，被莽兵追至一山沟，一个正在耕地的张姓老农将刘掩埋在犁垡下，当莽兵追至，逼问刘秀下落时，老农装哑以手东指，骗其东去，使刘秀幸免于难。从此，"犁掩沟”"东指”逐渐成为村名，至今犹存。
  在今联城乡的"吕家庄古遗址”周围，汉代遗址更为典型。这里，不仅汉砖汉瓦碎块随处可见，俯拾皆是，在吕家庄东一菜园内，还发现了一口陶壁古井。井深5米，井口直径80厘米，井壁陶层厚3厘米，制作精致。群众称为"古汉井”。现已定为县级重点文物保护单位。
  吕家庄古遗址附近尚有“大庄汉墓群”，亦名"吕娘娘墓”。也是县级重点文物保护单位，相传刘秀被莽兵追逼，一位吕姓姑娘冒险掩护，使其脱险。刘秀称帝后，封其为娘娘，死后葬在这里。
  另外，在今桃墟乡的大庙村附近有鲁王台，（一说是鲁宣公读书台）村中古庙中原有汉柏，明末清初的王珣曾为此写过《汉柏逸记》，说他年幼随父在大庙读书时，曾经常小憩于树下，后毁于战火，表达了他伤惋之情。（文载《蒙阴县志》、《艺文志》宣统三年修），现在大庙村庙内古柏犹存，当是后人补植但的。
  刘洪的具体出生地点我们虽然暂时难以确定。但是，上述古遗址都给我们提供了线索，也说明了东汉时期的蒙阴，具备了刘洪在此生活成长的条件。
  3、刘洪一生从事的职务
  刘洪一生做过多种官职，这主要从《袁山松书》中得以了解。“延熹中，以校尉应太史征，拜郎中。迁常山长史，以父忧去官，后为上计掾，拜郞中，检书东观，著作《律历记》迁谒者，谷城门侯，会稽东部都尉。征还，未至，领山阳太守，卒官"。从这一简历中，我们可以看出刘洪一生从事的职务可以大体分三类；
  （一）宫廷近臣及军事长官。
  由于刘洪是“鲁王宗室”，所以他在年轻时就担任了“校尉”之职，在汉代，校尉是仅次于将军的掌管特种军队的将领，如步兵校尉、屯骑校尉等（总称八校尉）。而在桓帝延熹年间，又应太史府征召，拜为郎中。在两汉时期，郎中的职责为护卫侍从，随时建议，或备顾问差遣，属郎中令领导，无定员。选拔郎中的条件有二：一是由"任子”赀选”二是由于文学、技艺等特长而被选拔。拜为郎中后，就可取得出任较高官职的资格，这是地主阶级子弟出任的重要途径。
  我想对"任子”一词加以说明，这对了解刘洪的身世或有帮助，据《辞海》“任子”条注释："任子：西汉时，两千石（郡守）以上官吏，任满一定年限，可以保举子弟一人为郎中，称任子。东汉沿袭不改”。从中可以推论，刘洪第一次应征为郎中，是否与其父官至两千石有关？选从他"以父忧去官“中，也可以佐证。当然，凭刘洪在天文历算方面的超人"技艺”而被征召，也有可能。不过，这时他毕竞还很年轻。拜为郎中后，他担任过一段常山郡长史（郡守的副职）。由于父亲去世，返乡丁忧而离职。
  刘洪担任过的较高军事职务是"会稽东部都尉”。"都尉”是协助郡守，负责一郡军事防务的长官。
  这里需要说明的是，东汉建国后，刘秀为了加强中央集权，在军事上也做了不少重大改革。建国不久，就废除了执掌地方兵权的郡国都尉。实际上取消了地方军队，借以削弱地方势力。只有在某些边远地带和民族、阶级矛盾紧张地区，才复设都尉。当然，要由皇室信任的人来充当。
  由于东汉王朝的腐朽统治，以及统治者对人民敲骨吸髓的压榨，特别是东汉后期的七八十年之间，阶级矛盾日益尖锐，社会动荡不安，小规模的农民起义此起彼伏，连绵不断。仅以会稽郡那一带而论，公元132年（顺帝阳嘉元年）。就爆发了曾族领导的起义，攻杀了句章、鄞、鄮、三县县长。章河则领导了杨州六郡人民起义，先后攻打四十九县，当然也波及到临近的会稽.（见《中国古代史》385页，福建人民出版社）。灵帝熹平元年（公元172年）"会稽人许生自称’越王’、'寇郡县’”。（《后汉书•孝灵帝纪》334页）公元172年，正值刘洪四十岁左右，被派去担任会稽东部都尉”是符合历史事实的。
  ,在这以前，刘洪还岀任过“谒者”和“谷城门侯”。“谒者”是负责给皇帝引见外官和传达政令的近臣。东汉时期该职多由宦官担任，刘洪被任为此职，足见其为皇室所信任。"谷城门侯”是负责保卫京都洛阳城防的官职。据《后汉书•百官志》载："洛阳城十二门，城门每门侯一人。”其中“谷门"是洛阳城的正北门。"谷门北中，位当于子”。
  综上所述，刘洪担任过的"校尉”、“谒者”、“谷城门侯”以及“会稽东部都尉”都属于宫廷近臣和军事要职。这和他出身于宗室贵族，为皇室所信任不无关系。
  （二）地方行政长官
  刘洪在其父去世前，曾任过“常山长史”、“曲城侯相”，晚年担任过"秩二千石”的“山阳太守”，并死在任上。在他担任这些职务期间，"政教清均，吏民畏而爱之，为州郡所礼异”（转引自《博物记》见《后汉书》3043页）可见，他有着较高的政治才能。
  （三）技术学术方面的职务
  刘洪在丁忧期满后，曾担任过"上计掾”。
  "上计"是自战国、秦汉时年终考核地方官成成绩的方法。战国时群臣于年终前须将赋税收入写于木卷，呈送国王考核，称为上计。汉代由县令（长）将该县的户口、垦田、钱谷出入等编为计簿，呈送郡国；郡守，国相再加汇编，用副本上计于中央的丞相。东汉时郡国上计形式上虽归司徒总核，实际上有尚书主持。县级上计由县丞代行，郡级由郡丞代行。东汉时改派地位较髙的掾吏，凡入京执行上计的人员称为“上计吏”、"上计掾”。（参看《辞海》“上计”条）很明显，“上计”是一项需要庞大数字计算的会计、统计工作。刘洪之所以能充任此职，当然是由于他杰出的数学才能，同时，在他担任这一工作期间，也无疑地发挥和锻练了他的数学才能。使他终于成为一个"密于用算”、“当世无偶”的杰出的数学家。
  刘洪的数学才能，在当时和后世都受到学术界的赞誉，有人把《九章算术》也归为刘洪所著（见唐释慧琳《大藏经音义》卷六），一般认为《九章算术》成书的年代是西汉末或东汉初（见《中国史稿》第二册381页，郭沫若主编，人民出版社出版）这就与刘洪的生活时代不符。不过刘洪精通《九章算术》却是为历代史家所公认，如在范文澜编著的《中国通史简编》中说："汉末……郑玄、刘洪、王粲等人都精通《九章算术》”。（见该书236页）刘洪在数学史上的成就，为世公认的是他在《乾象历》中创造的“正负数”：强正弱负，强弱相并，同名相从，异名相消。其相减也，同名相消，异名相从，无对互之。（严敦杰注：刘洪的"无对”与《九章》的"无人”同义。）（见1916年版适园丛书《后汉艺文志》）
  数学是研究天文历算的基础。当刘洪在数学领域里取得了"当世无谓"的地位后，又"意以为天文数术，探赜索隐，钩深致远，遂专心锐思"（《后汉书》3043页）开始研究天文历算方面的问题。"熹平三年，（公元175年）......常山长史刘洪上作《七曜术》”。《七曜术》是一部杰出的天文专著，"七曜”是指“日、月和金、木、水、火、土”七个天体。刘洪在《七曜术》里，精确地推算出了“五星会合”的周期。以及它们运行的规律，它的数据，与现代用精密的天学仪器测算的"差值”甚微，有的还完全相同。《七曜术》的完成，为其创建《乾象历》奠定了坚实的理论和数据基础。
  《乾象历》五星会合周期与今测值比较表:
  （据《中国数学大辞典》）
  刘洪杰出的数学才能和在天文学上取得的成就，引起了当时皇室和学术界的重视。当时著名的文学家蔡邕，在光和元年（公元178年），就上书汉灵帝推荐刘洪与其“共述”《后汉记》、《律历记》，他在表章中说：“郎中刘洪，密于用算，故臣表上洪”。后来，由于蔡邕"上封言事"，得罪了宦官而被流放，全书未能完成。但是，由于邕能为文，清浊锺律；洪能为算，述叙三光”。他们一个是文章泰斗，一个是数学大家。二人合璧而成的《律历记》却被"集录为上下卷，放续前志，以备一家”。其中的许多资料，又被《续汉书•律历志》所采用。
  在这里，我想顺便提一下关于蔡邕和刘洪的关系，蔡邕不仅在著书时请求刘洪与其合作，即便是在被诬陷罪的流放途中，在其"戍边上章"中还向灵帝举荐刘洪，可称得上“相知甚深”。蔡邕在遇赦回来后，继续受到宦官集团的迫害，不得不“亡命江海，远迹会稽，依太山羊氐，十二年"。（《后汉书•蔡邕传》）在这漫长的流亡中，他主要是藏在会稽和太山一带，而此时刘洪正担任"会稽东部都尉”，刘洪处当然可以托迹。另外，刘洪的故乡可是"泰山蒙阴”，二位密友当然也有见面的机会。至今，蒙山及其附近仍有蔡伯喈洞（邕字伯喈）和蔡邕墓等遗迹。（见《壮丽的山河》66页，山东美术出版社）就是蔡邕曾"亡命”于蒙阴的佐证。
  刘洪在与蔡邕编写《后汉记》•《律历记》之后，还曾担任过"检书东观”这一工作，“东观”是汉代的皇家藏书之所和学术研究机关的名称，自西汉武帝时即已建立。他派人广泛搜求图书，或抄写书籍的复本。成帝时，又大规模地征求遗书。并设立"检书东观”和“校书东观”等官职，专门从事对书籍的检查、校对、整理等工作。并负责时人的著作和科研成果进行检验，评价。刘洪所担任的主要是《考验日月》，以及对当时科学家所研制的天文历算成果的检查验证。关于这一点，在《后汉书•律历志》中多次记述。如他参与了光和二年（公元179年）对王汉所著《月食注》的审查，光和四年（公元181年）对张恂、宗诚等人的"推计行度”方法的课校。从中可以看出刘洪的才能在当时已高出于众，复校课验结果，往往是"遂用洪等”。他的意见一般就是结论。在课验考察别人研究成果的同时，也无疑地积累了大量的资料和经验，为其《乾象历》的创制奠定了牢固的基础。
  三、刘洪一生的主要贡献——创建《乾象历》
  刘洪在继完成《七曜术》这一天文著作之后，又一项造福后人的科学研究成果是创建《乾象历》，它是历史上第一部传世的引进月球运动不均匀性的历法。它的完成，是我国古代历法史上的一次革命性的大进步。
  1、《乾象历》成书的时间及其时代背景。
  《乾象历》是在汉灵帝光和年间（公元178——184）完成的。光和中，谷城门侯刘洪始悟"四分”于天疏阔，更以五百八十九为纪法，百四十五为计分，而造《乾象法》，又制《迟疾历》以步月行方于"太初”、"四分”、“转周密矣”。（《后汉书》、引司马彪注，见3081页）由于当时全国已处于农民起义蜂起，政治上极端混乱的时期，统治者自身难保，无暇顾及其它的事。所以《乾象历》在当时并未实行。不过创建以后，当时著名的博学家郑玄，三国时吴国的太子太傅、中书令阚泽都曾经注释过 《乾象历》。（参见《晋书》卷十一和《三国志》卷五十三）在阚泽的倡议下，吴国自建国起（吴大帝黄武元年，公元222年）就采用《乾象历》直至吴亡。魏晋以来的治历，也都参照《乾象历》。
  2、《乾象历》的主要内容及其贡献
  在对《乾象历》进行较为详细的论释之前，有必要对我国古代历法的历史做一概略说明。
  秦统一全国后，在历法上也把战国以来各自为历的局面统一起来，规定用《颛顼历》。汉承秦制，西汉初期，沿用《颛顼历》马王堆汉墓出土的《五星占》残篇记录了以《颛顼历》推算相符的部分五星会合周期。其中金星“五出，为日八岁”，即金星会合周期的五周与八年的日数相同，这数据的准确性在当时来讲是很惊人的。山东临沂银雀山汉墓出土的汉元光元年（公元前134年）的历谱也是用《颛顼历》推算出来的。由于时间的推移，天文学上微小的误差积累起来，就逐渐使历法“后天”。于是，汉武帝元封七年（公元前104年）征召民间天文学家落下闳等二十余人议定改历，从而制定了我国保存下来的第一部完整历法 ——《太初历》（后被刘歆改为《三统历》）。这部历法具备后世历法的基本内容。到东汉章帝元和二年（公元85年）改用新的《四分历》。在实行四分历期间，著名的天文历算学家贾逵、李梵等人创造"黄道铜仪”，测定了二十八宿黄道距度和太阳月亮的运行度数。从而发现：（1）月亮每日运行的速度是不均勻的；（2）月亮的近地点也在移动。也就是说，关于"月球运动不均匀性”的现象，在刘洪之前，已被科学家所发现。而刘洪在继承前人研究成果的基础上，又有新的创建。
  刘洪在《乾象历》中的主要创见是：他进一步确定了 "黄白交角值”，近点月周期，交点退行和月亮每天实际运行的度数。
  刘洪的创见，使我国古代关于“月球运动”的学说得到了初步定型。这也是刘洪毕生中最大的功绩。（见《中国史稿》第二册，郭沫若主编，人民出版社）
  古代的历法，为什么要不断改制呢？这当然是各代历法都不够精密，“于天疏阔”推行时间久了，就会发生与"天象”不相适应的观象。早在东汉初年，人们就发现，日月合朔常有提前现象。日食日期也有提前一天的现象。这主要是《太初历》回归年测算不确的缘故，实行《四分历》后，对《太初历》的"后天”现象有所校正，但历行数十年后，"后天”现象仍复出现，特别是月食预报错误明显。因此，改历已是刻不容缓，刘洪的《乾象历》也就应时而生了。
  《乾象历》这一部传世的优秀历法，扬溢着刘洪杰出的天文历算才能；当然，也凝聚了他毕生"笃信好学”"钩深索隐”的辛勤汗水。他不仅善于总结继承前人的科研成果，也注重实际考察和实验，勇于创新。"汉灵帝时，会稽东部都尉刘洪，考史官自古迄今历注，观其进退之行，察其出入之验，视其往来，度其始终，始悟'四分'二天疏阔，皆斗分太多故也。更以五百八十九为纪法，百四十五为计分，作乾象法。其为是也，依易为数，循行相长，潜处相求，名为乾象历。”（《晋书•律历志》）从中就可以看出这位杰出的科学家所付出的艰辛劳动。《乾象历》是他毕生艰苦钻研的结晶。
  《乾象历》以岁实（回归年）365145/589,纪法589,计分145,合内外两纪为乾法，1178为基本数据，以之推求其它各数。主要内容：（1）有朔望的求法，（2）近点月的求法，（3）月行迟疾求法（三道术），（4）求食限数和兼数（黄白交角）术，以及推行五星运行参数的方法。（详见附录）这些，都是刘洪的发明和创见，一直为后世编历者尊为宗师。
  3、《乾象历》的基础数据和推求方法
  （一）基础数据
  1、纪法：589得以实测，是由回归年分数部分而来（回归年之分母）
  2、乾法：1178
  589X2=1178倍纪法得之。
  3、周天：215130-个纪的日数，由回归年乘以纪法数所得：
  365145/589X589=215130
  4、通法：43026
  215130-/5=43026周天除以5得之。
  5、岁中：12三统乘四得来，源于三统历。
  6、周岁：199+10=19合天地终数得之，即
  19个回归年为一章（源于颛顼历）。7、章闰：7闰法中一章置七闰，来源于《四分历》的月均天行度数137/13。
  8、会数：47三天九，两地十合数。9X34-10X2=47
  9、会岁：893会数乘章岁，得会岁。
  47X19=893
  10、章同：235五倍之会数，47X5=235
  （一章235个朔望月）
  11、会率：1882—会之交食数。
  12、朔望合数（即交点年数）：941即月行交周数。1882/2=941
  13、会月（即朔望月数）：11045十二倍之会岁加会数乘章闰893X12+47X7=11045
  14、纪月：7285—纪之朔望月数
  7285=589X12+31x7（即589年中有31个章岁，每章岁中有7个闰月，再加上589年中的每年12个月数。）
  15、月周：7874一纪月行周天数，
  7874=7285+589即一纪中的恒星月数
  16、小周：25一章月行周天败254=235十19（即一章中的恒星月数）
  《乾象历》的内外纪为：
  内纪：1、已丑。3、丁卯，5,乙已7、癸末，9、辛酉，11、已亥13、丁丑（太初元年）。
  外纪：2、戊寅，4、丙辰，6、甲午，8、壬申，10,庚戍，12、戊子，14、丙寅。
  《乾象历》推求方法：
  以内外两纪为纪法，它们的计算过程为：用60去除纪法，余数49。从已丑开始起算，查天干地支表，得戊寅。然后再以戊寅起算，查表得丁卯，依次类即得14纪首名。
  求纪首朔旦冬至日名时，用60去除周天，余数30,命上元甲子朔旦冬至，则一纪文之后，查表应知该日应在甲午，二纟己之后朔旦冬至日又回到甲子，故乾象历以二纪为纪法。内纪以甲子为首日，据乾象算法，以周天215130为基本数，以纪法除之得到一年的日数；365149/589日，则分数部分145/589=0.24618。较《四分历》的1/4=0.25为小，即《乾象历》减少了计分，以校正《四分历》的日益后天现象。这是我国汉代天文观测精密度提高的标志，也是历法史上的一大进步。周天以纪月（31章为纪月，共7285月）除之，得一月之日数为29773/1457=29.53054221,也就是等同于通法去除日数，数值是一致的，但有验算作用。29.53054221为一个朔望月的日数，与现今的精密数值仅差小数点后第五位上的数值，可见其精密程度之高。
  周天以月周除之得215130/7874=27.321564即月行周天的日数，即今之恒星月的天数，亦相当精密。关于月行迟疾的算法：它以纪法除月周，得13217/589度，再以31除其分数部分，得13百度，这正是月行平均度数，亦是19年置7闰的根据。刘洪知道月行速度不均匀，有时慢而不足13°,有时快则达14°多，因而快慢相差3°左右。其近点月27.554756日和近代值27.554550日仅相差0.000206日，其测算的精密度之高可见一斑。
  刘洪为了测算兼数（黄白交角），创立了“三道术”，中道为黄道，内道为阴历在黄道北，外道为阳历在黄道南，测得月行出入黄道术，即可算出黄白交角，也就是月亮黄纬的变化，随日期逐日改变,也测得每月的第八天（上弦）兼数最大，为6°1'（合现今5°55'17〃），即黄白大距，也就是黄白交角数值。这是我国历史上首次测得的黄白交角数值，成为“后世师法”。
  月行迟疾和黄白交角的测出，使刘洪得以创立定朔望的计算方法，这在我国历法史上是一大贡献，这个方法的计算过程大致为：
  （1）先按平均运动堆算出各朔望月的朔望时刻也就是通常用的平朔（平望），（2）推算平朔在一个近点月周期中的位置，即平朔时刻距近地点的距离（时间），（3）按月行近点周期表，计算平朔时刻月亮平均运动对真实运动的校对值，（4）把计算的校正值加到平朔时刻上，就得到真实的合朔时刻，即为定朔，实质上就是测定"月离表”，这在现今也是十分困难的一项工作。
  刘洪测得的"月离表”如下:
  这里“日转度分”，由实测得到“列衰”表示月7行变化，"换益"表示月行对平均137/19度的变化，“益”表示多于平均行度（计算时以19分为一度，便于计算。）“盈缩积”为“换益率”之代数和，即“益转相益，换转相损，盈缩积也”。（《晋书•律历志》）。“月行分”是将“日转度数”栏中的度化为分，来表示的月行距离。有了此表，即可根据平朔时刻距近地点的时间，求出这段时间中的盈缩积分数，找到定朔校正数以改正平朔。
  《乾象历》由黄白交角的数值计算出了食限，在合朔时，月亮离黄白交点不超过十五度半时，才能发生日食，这个数值为后世的许多历法所沿用。