邢台市图书馆

在古代历算学中，认为太阳在天球上日行一度，是以不变的匀速进行的。北齐的天文学家张子信首先发现了太阳的运行速度不是匀速的。冬至前后，走得快一些；夏至前后，走得慢一些。隋朝的刘焯，在天文实践中了解到太阳在黄道上运行速度的变化情况，但他认为太阳运动是等加速和等减速运动。根据计算，定出太阳运行快慢的差别，以备制定历法时使用。唐代僧一行加以修改，拟定的盈、缩、朓、朒数值就比较精确。
  太阳运行速度超过平均速度叫盈，不及平均速度叫缩或朒。隋朝的刘焯发现日行盈缩后，以冬至、夏至为准，计算太阳运行一象限的时间快慢及盈缩所积的度数。运用的计算方法就是古代数学中的招差术，创用了等间距与不等间距二次内插法。北宋的皇居卿于元祐年间（1086—1093年）做观天历，用二次内插法算得“冬至后盈初，夏至厚缩末”的“限日”为88.91日；“夏至后缩初，冬至后盈末的”的“限日”为93.71日。
  郭守敬发现太阳在二至前后的运动还不是一般的等加速和等减速运动，而是加速度值和减速度值都在逐渐增大的变加速和变减速运动。从冬至日起开始，速度减慢得较少，渐渐地减慢得越快越多，到春分附近等于平均速度。由于每日同下一日的速度差别还不显著，郭守敬就把88.91日分成六段来考虑。相当于把一年二十四个节气分在天球圆周上四象限，每一象限有六气，故分六段。得到每段为14.82日。从初日到每段的末一日的日数，叫做积日，日子均从冬至初始之日起算，后一段的日子须连前面的日子一起算，这种方式就叫招差。在这88.9日内，速度始终比平均速度快。根据实测，从初日到每一段末为止，太阳离冬至点的实际黄道度比用平均速度所走的黄道度，因速度快而超出常数，这叫做盈积的积差。将各段的积差，以积日去除它，可得到该段时间每日盈多少度分，也就是平均每日多走了多少分，叫做盈差率或叫日平差。从这个日平差数字的递减，可以看出速度系在递减。如果用近代数学的方式来表述太阳的视运动，那么刘焯把它看做是时间的二次函数，郭守敬则把它看做是时间的三次函数，实际上太阳的视运动是一个高次函数，不过郭守敬能认识到这种程度已经是比较超前的了。求冬至后×日的日平差时，可以先列出一个求×日积差的三次函数的普遍公式：将普遍公式与太阳的视运动的积差和日平差联系起来，求冬至后×日内的日平差时，必须将×日的日数化为段数，取二次差展开公式，代入有关数值，可以得到：前面所论述的方程式中a=513.32b＝-2.46c＝-0.0031于是要计算每日的积差F（×）时，只要把x=1,x=2，×＝3，……直至x=88,x=89代入上式就可以了。这样可以得到从以上的式子可以清楚地看到，速度的减少不是等减速度，而是变减速度，是减低得相当快的急降骤减的变减速度。其中a=513.32是个常量，授时历称之为“定差”，含b的项依次为1,2,3，……的平方递减，称为“平差”，含c的项则依立方递减，称为“立差”。
  郭守敬在具体应用F(1）,F(2）,F(3）……的式子进行计算时，发现了有些繁琐，因为每次计算一个式子，都要依次做平方、立方及乘法与两个加减法。在编订授时历订立成时，郭守敬采取另外一种方式，使用表格来计算。
  按照表中第一行的数字，以下各行即各日积差和它的一、二、三差数字只须按招差法原则仅用加减便可逐一填写出来了。这就是授时历中“依立招差求每日行分初末积差积度”的数表。清代著名数学家李善兰曾经指出“授时术中法号最密，其平立定三差，学算者皆推为创获”。在欧洲，首先对招差术加以说明的是17世纪的格利高里和牛顿，他们比郭守敬晚了三、四百年。