邢台市图书馆

中国古代天、算不分家，天算大师被统称为“畴人”。历法则是天文学和数学两方面的成就的结晶，郭守敬与王恂、杨恭懿、许衡等人在编制授时历的过程中，把他们的广博精深的数学知识，创造性地应用到了天体运行的推算方面去。他们创立了五项新的数学计算方法，对太阳、月亮及五星运动排出了新的计算用表，运用于新编的授时历中。郭守敬的数学成就体现在授时历中，归纳起来有三项成果，即平立定三差术（高次差内插法）、割圆求矢术（高次方程数值解法）、弧矢割圆术（球面几何学）。正是有了郭守敬的这三项伟大的数学成就，才显示了宋元时期的数学高度发达程度，使得中国古代数学在世界数学史上占有重要的一席之地。1、平立定三差术在古代历算学中，认为太阳在天球上日行一度，是以不变的匀速进行的。北齐的天文学家张子信首先发现了太阳的运行速度不是匀速的。冬至前后，走得快一些；夏至前后，走得慢一些。隋朝的刘焯，在天文实践中了解到太阳在黄道上运行速度的变化情况，但他认为太阳运动是等加速和等减速运动。根据计算，定出太阳运行快慢的差别，以备制定历法时使用。唐代僧一行加以修改，拟定的盈、缩、朓、朒数值就比较精确。
  太阳运行速度超过平均速度叫盈，不及平均速度叫缩或朒。隋朝的刘焯发现日行盈缩后，以冬至、夏至为准，计算太阳运行一象限的时间快慢及盈缩所积的度数。运用的计算方法就是古代数学中的招差术，创用了等间距与不等间距二次内插法。北宋的皇居卿于元祐年间（1086—1093年）做观天历，用二次内插法算得“冬至后盈初，夏至厚缩末”的“限日”为88.91日；“夏至后缩初，冬至后盈末的”的“限日”为93.71日。
  郭守敬发现太阳在二至前后的运动还不是一般的等加速和等减速运动，而是加速度值和减速度值都在逐渐增大的变加速和变减速运动。从冬至日起开始，速度减慢得较少，渐渐地减慢得越快越多，到春分附近等于平均速度。由于每日同下一日的速度差别还不显著，郭守敬就把88.91日分成六段来考虑。相当于把一年二十四个节气分在天球圆周上四象限，每一象限有六气，故分六段。得到每段为14.82日。从初日到每段的末一日的日数，叫做积日，日子均从冬至初始之日起算，后一段的日子须连前面的日子一起算，这种方式就叫招差。在这88.9日内，速度始终比平均速度快。根据实测，从初日到每一段末为止，太阳离冬至点的实际黄道度比用平均速度所走的黄道度，因速度快而超出常数，这叫做盈积的积差。将各段的积差，以积日去除它，可得到该段时间每日盈多少度分，也就是平均每日多走了多少分，叫做盈差率或叫日平差。从这个日平差数字的递减，可以看出速度系在递减。如果用近代数学的方式来表述太阳的视运动，那么刘焯把它看做是时间的二次函数，郭守敬则把它看做是时间的三次函数，实际上太阳的视运动是一个高次函数，不过郭守敬能认识到这种程度已经是比较超前的了。求冬至后×日的日平差时，可以先列出一个求×日积差的三次函数的普遍公式：将普遍公式与太阳的视运动的积差和日平差联系起来，求冬至后×日内的日平差时，必须将×日的日数化为段数，取二次差展开公式，代入有关数值，可以得到：前面所论述的方程式中a=513.32b＝-2.46c＝-0.0031于是要计算每日的积差F（×）时，只要把x=1,x=2，×＝3，……直至x=88,x=89代入上式就可以了。这样可以得到从以上的式子可以清楚地看到，速度的减少不是等减速度，而是变减速度，是减低得相当快的急降骤减的变减速度。其中a=513.32是个常量，授时历称之为“定差”，含b的项依次为1,2,3，……的平方递减，称为“平差”，含c的项则依立方递减，称为“立差”。
  郭守敬在具体应用F(1）,F(2）,F(3）……的式子进行计算时，发现了有些繁琐，因为每次计算一个式子，都要依次做平方、立方及乘法与两个加减法。在编订授时历订立成时，郭守敬采取另外一种方式，使用表格来计算。
  按照表中第一行的数字，以下各行即各日积差和它的一、二、三差数字只须按招差法原则仅用加减便可逐一填写出来了。这就是授时历中“依立招差求每日行分初末积差积度”的数表。清代著名数学家李善兰曾经指出“授时术中法号最密，其平立定三差，学算者皆推为创获”。在欧洲，首先对招差术加以说明的是17世纪的格利高里和牛顿，他们比郭守敬晚了三、四百年。2、割圆求矢术郭守敬在授时历的推算过程中，数学成就还有割圆求矢术，即高次方程的数值解法。
  这是一个数这四次方程，郭守敬称系数d2,2ds,dd2s2分别为上廉，下廉，益从方，正实。然后从高位到低位逐位求正根的不足近似值，在解法上独具特色。3、弧矢割圆术授时历“推黄道各度距赤道内外度术”和“求黄道各度下赤道积度术”便用“弧矢割圆术”即球面几何法由已知的弧长求另一弧长。
  郭守敬这种“弧矢割圆术”的球面几何法，与球面三角中求解直角弧三角形的方法很接近。若设黄经AB=c，赤经AC=b，赤纬＝CBa，黄弧矢割圆术及授时历的推导应用，在元初仍是一项进步的数学方法。它创立了我国自己的球面三角学公式，具有独特的计算方式和计算系统。虽然，隋唐时球面三角学的概念已随印度天文学传入我国，元初北司天台札马鲁丁的阿拉伯天文书籍也有部分三角公式和数表。但是王恂、郭守敬没有采用简单的三角公式也不是繁重的计算，而是用特有的计算方法，在计算过程中更不见正切函数的引用。郭守敬是很善于吸收新的科学成果的科学家，对外来的数学成果不排斥，因而可以断定，他独立创立了球面三角学的计算方法。这是郭守敬在我国历史上对数学发展的一项重要贡献。